[알고리즘] 합분해(백준2225번)_골드5_dp

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📝 문제

0부터 N까지의 정수 K개를 더해서 그 합이 N이 되는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

덧셈의 순서가 바뀐 경우는 다른 경우로 센다(1+2와 2+1은 서로 다른 경우). 또한 한 개의 수를 여러 번 쓸 수도 있다.

입력

첫째 줄에 두 정수 N(1 ≤ N ≤ 200), K(1 ≤ K ≤ 200)가 주어진다.

출력

첫째 줄에 답을 1,000,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

20 2

예제 출력 1

21

예제 입력 2

6 4

예제 출력 2

84

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❌ 오답 (백트래킹)

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    static int N, K;
    static int[] arr;
    static int[] result;
    static int count = 0;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        int MOD = 1000000000;

        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        K = Integer.parseInt(st.nextToken());

        arr = new int[N+1];
        result = new int[K];

        for (int i = 0; i <= N; i++) {
            arr[i] = i;
        }

        permutation(0);

        System.out.println(count % MOD);
    }

    public static void permutation(int depth) {
        int temp = 0;

        if (depth == K) {
            for (int i = 0; i < result.length; i++) {
                temp += result[i];
            }
            if (temp == N) count++;
            return;
        }

        for (int i = 0; i <= N; i++) {
            result[depth] = arr[i];
            permutation(depth+1);
        }
    }
}

• 백트래킹으로 풀면 역시나 시간초과가 발생한다.

🔍 정답

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        int MOD = 1000000000;

        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());       // 0~N까지 수가 주어진다.
        int K = Integer.parseInt(st.nextToken());       // 사용할 숫자의 개수

        int[][] dp = new int[K+1][N+1];     // K개의 숫자로 N을 만드는 경우의 수
        Arrays.fill(dp[1], 1);

        for (int i = 2; i <= K; i++) {
            dp[i][0] = 1;
            for (int j = 1; j <= N; j++) {
                dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i][j-1]) % MOD;
            }
        }

        System.out.println(dp[K][N] % MOD);
    }
}

• 백트래킹으로는 시간초과가 발생하니 DP로 접근해보기로 하였다.
• dp의 값은 문제에서 구해야 하는 값, K개의 숫자로 N을 만드는 경우의 수이다.
• dp[2][3] = 2개의 숫자로 3을 만드는 경우의 수가 된다.

• 우선 1개의 숫자로 어떠한 숫자를 만드는 경우의 수는 1개임이 명확하다.
• 그리고 0을 만드는 방법은 0, 0+0, 0+0+0 으로 순서가 뒤바뀔 수 없기 때문에 이것 또한 경우의 수는 1개가 된다.

• 나머지를 채운 모습! (빈 칸은 너무 많아서 생략했다..)
• 우선, 숫자 3개로 2를 만든다고 생각해보자.
• 숫자 2개로 2를 만든 후 0을 더하고 숫자 2개로 1을 만든 후 1을 더하고 숫자 2개로 0을 만든 후 2를 더하면 된다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같이 된다.
  $$dp[a][b] = \sum_{x=0}^b dp[a-1][x]$$

• 여기서 한 번 더 생각하면,

• dp값은 for문을 통해 작은 값에서 큰 값으로 순서대로 구해지기 때문에 dp[3][2] 를 구하기 전에 dp[3][1] 값은 이미 구해져있을 것이다.(메모이제이션)
• 우리가 구해야하는 것은 dp[a-1][0b] 인데, dp[a-1][0b-1] (살구색)의 값은 dp[a][b-1] (노란색)이다.
• 결국 점화식은 dp[a-1][b] + dp[a][b-1] 이 됨을 알 수 있다!
• 또한, 아래와 같은 모듈러 연산 공식을 이용해서 매 연산마다 MOD로 나눈 나머지만 저장하고 출력할 때 한 번 더 MOD로 나누어서 출력한다!

(A * B) % C = (A % C * B % C) % C